Алгебра логики.
Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.
Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Логические связки "не”, “и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.
Существуют три основные логические операции:
- Отрицание (инверсия, операция, выражаемая словом “не”). Инверсия высказывания истина, когда само высказывание ложно, и ложно, когда высказывание истинно.
- Дизъюнкция (логическое сложение, операция, выражаемая связкой “или”) двух или более высказываний ложно тогда и только тогда, когда все простые высказывания, входящие в неё, ложны.
- Конъюнкция (логическое умножение, операция, выражаемая связкой “и”) двух или более высказываний истинно тогда и только тогда, когда все простые высказывания, входящие в неё, истины.
Существуют и другие логические операции.
- Операция, выражаемая связками “если ..., то”, “из ... следует”, “... влечет ...”, называется импликацией.
- Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, "необходимо и достаточно”, “... равносильно ...”, называется эквиваленцией или двойной импликацией.
- Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание.
- Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:
Любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.
Формулы, принимающие значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных называются тождественно истинными формулами или тавтологиями.
Формулы, принимающие значение “ложно” при любых значениях истинности входящих в них переменных , называются тождественно ложными формулами или противоречиями.
Две формулы при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимающие одинаковые значения, называются равносильными.
